Internet è ricco di suggerimenti su come preparare la valigia per una vacanza, ma cosa dire di coloro che amano il disordine? Esiste un modo per riempire uno spazio in modo caotico e disorganizzato nel peggiore dei modi possibili? La risposta è sì, e grazie a una recente dimostrazione, stiamo avvicinandoci a comprendere esattamente come.
Thomas Hales, Professore di Matematica all’Università di Pittsburgh e coautore di un nuovo libro contenente la dimostrazione, ha spiegato che utilizzando la teoria del controllo ottimale è stato dimostrato che il disco convesso centralmente simmetrico più difficile da disfare nel piano è un poligono smussato. Il libro dimostra la Prima congettura di Mahler sui poligoni smussati, anche se non ancora sottoposto a revisione paritaria, le reazioni iniziali degli altri matematici sembrano essere positive riguardo alla validità del risultato.
Ma cosa significa tutto ciò? Cominciamo con un po’ di terminologia. “Più difficile da disfare” è un termine tecnico che indica che una forma, se più difficile da disfare, avrà una disposizione meno densa, lasciando più spazio scoperto. “Disco convesso centralmente simmetrico” descrive le forme considerate, con l’importante specifica del “disco convesso” che implica che due punti all’interno della forma possono essere connessi da una linea retta interamente contenuta all’interno della forma stessa. Questo evita soluzioni strane che lascerebbero molto spazio scoperto.
Il termine “centralmente simmetrico” significa che un punto è situato all’interno della forma se e solo se la sua riflessione attraverso il centro lo è anche. Questo non è una condizione necessaria per il problema, ma aiuta a ridurre il numero di forme possibili, semplificando così la questione.
Questo problema, nonostante possa sembrare superficiale, è incredibilmente difficile. Koundinya Vajjha, coautore del libro insieme a Hales, ha raccontato che il problema è stato così complesso che è passato da studente di dottorato a ingegnere prima di giungere a una conclusione. Hales ha avuto un’epifania che li ha portati a dimostrare la congettura di Mahler, che ipotizzava che la forma peggiore sarebbe stata un poligono smussato.
Un poligono smussato è un poligono i cui angoli sono stati arrotondati in modo speciale da archi di iperboli. Riformulando un teorema di Minkowski riguardante la geometria dei numeri, la coppia è stata in grado di applicarlo al loro problema, dimostrando che la forma più difficile da disfare è un poligono smussato. Karl Reinhardt aveva ipotizzato che un ottagono smussato fosse la forma peggiore, ma la questione rimaneva aperta.
Anche se il libro rappresenta un passo avanti nel risolvere il problema di come fare la peggiore valigia, la questione è ancora parzialmente irrisolta. La congettura di Reinhardt afferma che l’ottagono smussato è il K convesso centralmente simmetrico con la disposizione reticolare più densa minore. Questo problema rimane irrisolto in generale, ma il risultato ottenuto rappresenta il miglior risultato conosciuto in questa direzione.
Il nuovo libro, attualmente non sottoposto a revisione paritaria, è disponibile per la lettura sul server di preprint ArXiv.
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