Per la maggior parte di noi, la nostra educazione matematica ha coinvolto molti nomi. C’è il Teorema di Pitagora; l’Ipotesi di Riemann; l’Hotel di Hilbert e molti altri concetti e teoremi intrinsecamente legati agli studiosi che li hanno scoperti per primi. O dovremmo dire inventati?
È una domanda seria. Siamo così abituati alla matematica come strumento indispensabile, che ci permette di svelare le leggi fondamentali dell’Universo, arricchirci rapidamente o semplicemente pianificare la lista degli ospiti più efficiente per una festa, che non ci soffermiamo spesso a considerare da dove provenga.
Quindi, quale è la risposta? La matematica è inventata, con tutti quei teoremi e concetti così rigorosamente dimostrati nel corso dei millenni, solo un sottoprodotto della percezione umana; o è scoperta, suggerendo l’idea di un “sei” fattuale e reale là fuori nell’universo da qualche parte?
È una domanda più complicata di quanto si possa pensare.
Numeri reali, o immaginari?
Se ti sei mai chiesto se l’invenzione risale a molto tempo fa: “almeno dall’epoca di Platone (4a2 + b2 = c2 è una verità cosmica e immutabile, o solo qualcosa che abbiamo deciso essere utile per la costruzione di ponti, sei in buona compagnia. La domanda se la matematica sia scoperta o inventata risale almeno all’epoca di Platone (IV secolo a.C.),” Alexander Paseau, Professore di Filosofia Matematica all’Università di Oxford, dice a IFLScience.
“E probabilmente prima di quello,” aggiunge. “I pitagorici avevano una filosofia del numero.”
Anche oggi, una delle principali correnti di pensiero sulla questione è conosciuta come il lottatore diventato filosofo le cui idee sono basate su di esso. È giusto dire che i seguaci si sono schierati decisamente da una parte dell’argomento: i platonici sostengono che “i numeri, gli oggetti matematici, infatti tutto, è reale,” spiega il Platonismo, dopo Joe Morrison, Assistente Didattico presso il Dipartimento di Filosofia dell’Università di Sheffield.
“Sono indipendenti dalla mente,” dice a IFLScience. “Non dipendono da nessuno che ci pensi, o li nomini, o li inventi, o abbia concetti; sono davvero là fuori.”
Nello spettro che va da “scoperto” a “inventato”, quindi, il Platonismo opta decisamente per “scoperto”. Una dichiarazione come, ad esempio, “l’ipotesi di Riemann è vera” è altrettanto dipendente dalla realtà fattuale quanto una come “tutte le mele sono rosse”; se tutta la vita umana fosse cancellata dall’esistenza oggi, non cambierebbe il fatto che 2 + 2 = 4 più di quanto altererebbe il numero di atomi in una molecola di acqua.
È solo un ramo di ciò che è noto come realismo matematico. Ci sono altri modi per credere nell’esistenza reale degli enti matematici: “gli aristotelici pensano che la matematica riguardi il mondo fisico,” nota Paseau, mentre, ad esempio, realismo dell’oggetto rimuove il requisito platonico dell’indipendenza. Ma tutti concordano: gli oggetti matematici, come numeri e insiemi, sono entità reali (se astratte) che noi come agenti intelligenti scopriamo, piuttosto che inventiamo.
Per afferrare il trascendentale
Il realismo matematico ha attirato nomi piuttosto famosi nel corso dei secoli – persino Kurt Gödel, possibilmente la persona che ti aspetteresti meno ci si aspetta a prendere una posizione decisa sul “la matematica è reale”. Ma è ben lungi dall’essere universalmente accettato: “c’è un’enorme quantità di persone che dicono che il platonismo è preposteroso,” dice Morrison; “è esagerato, è gonfio, e ci dice che dobbiamo accettare nella nostra ontologia – nel nostro inventario di ciò che esiste – tutte queste entità matematiche davvero strane, queste entità matematiche che non assomigliano a nulla altro.”
E i problemi con il platonismo vanno ancora più in profondità. All’inizio, la scoperta delle realtà matematiche può sembrare un punto di forza della posizione – chi può davvero dire di non essere un po’ influenzato dall’argomento che “due” sarà uguale a due indipendentemente dal fatto che lo diciamo o meno?
Ma “se le verità matematiche sono in qualche modo davvero là fuori,” spiega Morrison, “e sono queste strutture universali eternamente non spaziotemporali; non esistono nel tempo, non esistono nello spazio, sono semplicemente reali… allora come si suppone che gli esseri umani possano mai avere conoscenza di esse?”
Se non è reale, allora cosa?
Quindi, forse la matematica non è fatta di oggetti e verità reali che ci aspettano solo per essere scoperti in qualche modo. Ma qual è l’alternativa? Beh, in modo appropriato per una visione che si oppone all’idea che la matematica sia un fatto, è chiamata fictionalismo – e a prima vista, probabilmente sembra un po’ strana.
“Il fictionalismo è l’idea che la matematica è una finzione: ‘1 + 2 = 3’ può essere vero nella storia della matematica, allo stesso modo in cui è vero nella finzione di Dickens che Oliver Twist vive a Londra,” spiega Paseau. “Ma non è letteralmente vero, allo stesso modo in cui non è letteralmente vero che Oliver Twist vive a Londra – perché non esiste nemmeno.”
Come puoi immaginare, questa visione è un po’ controversa. “Quando si sente per la prima volta l’ipotesi fictionalista, può sembrare un po’ pazzesca,” scrive Mark Balaguer, un ricercatore in filosofia matematica presso la California State University, Los Angeles, nell’Enciclopedia di Filosofia di Stanford voce sull’argomento.
“Dobbiamo davvero credere che frasi come ‘3 è primo’ e ‘2 + 2 = 4’ siano false?” chiede. “Ma l’attrattiva del fictionalismo inizia a emergere quando ci rendiamo conto quali sono le alternative. Pensando attentamente alle questioni che circondano l’interpretazione del discorso matematico, può iniziare a sembrare che il fictionalismo sia effettivamente molto plausibile, e infatti, potrebbe essere la visione meno pazza là fuori.”
Può sembrare un po’ come una scorciatoia – come Bertrand Russell una volta protestato famosamente, è simile a raccogliere “i vantaggi del furto rispetto al lavoro onesto,” dice Morrison. Ma, gli fictionalisti potrebbero argomentare, facciamo davvero questo tipo di cose tutto il tempo: “parliamo de Il Signore degli Anelli, e possiamo dire cose come ‘abitano gli hobbit ne La Contea?'” fa notare. “E la risposta è sì, è vero che gli hobbit abitano ne La Contea […] gli hobbit abitano ne La Contea, e gli hobbit non esistono.”
Lo stesso vale per le affermazioni matematiche, credono i fictionalisti. Da qui nasce l’idea strana che “3 è primo” è una falsa affermazione – non perché un fictionalista pensi che 3 abbia fattori diversi da se stesso e uno, ma perché cose come “3” e “essere primo” e “fattori” semplicemente non sono cose che esistono.
“I fictionalisti matematici sono desiderosi di dire, guarda, non stiamo negando che 2 + 2 = 4, non stiamo dicendo che è falso,” spiega Morrison. “C’è un senso in cui è vero, ma è vero allo stesso modo in cui, ad esempio, Bilbo Baggins viveva ne La Contea. È vero secondo la finzione.”
Una questione di sorpresa
Ma come il realismo, anche il fictionalismo ha i suoi oppositori. Dopotutto, se la matematica è tutta semplicemente un’invenzione, allora, beh – come mai funziona così bene?
Non è una questione banale. Come è possibile che, ad esempio, una semplice uguaglianza che collega il raggio di un cerchio alla sua circonferenza dovrebbe essere anche essenziale per modellare la dinamica dei derivati finanziari nel tempo? Perché mai il movimento fisico di un pendolo dovrebbe essere anche in qualche modo correlato alla presentazione dei numeri come somme di quattro quadrati, tanto meno essere dipendente dalla stessa identica equazione? Come possiamo spiegare geometria analitica, o Monstrous Moonshine?
“Questo è considerato una vera sfida per i fictionalisti. Come, una sfida sostanziale,” dice Morrison. I filosofi chiamalo l’efficacia irragionevole della matematica: la capacità sempre presente, apparentemente inesplicabile e spesso del tutto imprevedibile della matematica di spiegare apparentemente qualsiasi fenomeno scientifico.
“Quindi, possiamo mandare le persone sulla luna – se guardi il film stanno letteralmente facendo, sai, matematica a lungo termine […], equazioni molto complesse come in Il diritto di contare, che sono state efficaci, che hanno permesso a due oggetti in movimento di coincidere in modo molto efficace,” spiega Morrison.
“E la domanda sarebbe, se tutto questo discorso matematico è in un certo senso falso, o in un certo senso non reale, se non sta cogliendo proprietà reali della realtà – come può essere così efficace?”
cicada specie del Nord America che si nascondono sottoterra per anni prima di emergere per O considera, ad esempio, le cicale periodiche che inghiottire intere città nella loro corsa per mangiare, riprodursi e morire. Ci sono sette diverse specie di insetti, e tutte seguono rigorosamente un regime matematico, emergendo solo dopo sette, 13 o 17 anni sotto terra.
“Come mai questi sono cicli di vita con numeri primi? E la risposta è solo un po’ di teoria dei numeri,” dice Morrison. “È solo una questione di minimi comuni multipli. È una spiegazione biologica, ma è una spiegazione biologica che si basa indispensabilmente sulle proprietà dei numeri. La primalità dei cicli di vita sta chiaramente facendo una differenza fisica.”
È, a prima vista, un argomento persuasivo a favore del realismo – o almeno, contro il fictionalismo, che non è la stessa cosa. Perché mentre un fictionalista potrebbe non essere in grado di rispondere perfettamente alla domanda, non c’è garanzia che il realista possa farlo nemmeno.
“È proprio lì che la filosofia diventa interessante,” dice Morrison. I fictionalisti “probabilmente cercheranno di aggirare il problema […] o ci sarà un contrattacco – ‘beh, come fa l’altra visione a gestire questo? Perché dovrebbe essere così semplice per il realismo dare senso a coincidenze sorprendenti?'”
Quod erat demonstrandum
Quindi, cosa significa tutto questo per la matematica? Né inventata, né scoperta, ma qualche terza cosa segreta, indecifrabile persino per coloro che dedicano la loro vita alla domanda.
“Da qualche parte tra le due – quella deve essere la risposta giusta,” suggerisce Morrison. “Il mio istinto è che alcune strutture matematiche avranno l’apparenza di essere oggettive, ma si riveleranno meno che completamente oggettive.”
In realtà, abbiamo appena grattato la superficie delle possibili soluzioni. “Alcune persone pensano che gli oggetti della matematica siano mentali,” spiega Paseau; ci sono i Formalisti, che “vedono la matematica come manipolazione di simboli priva di significato. Non è una visione molto popolare al giorno d’oggi,” dice, e i Deduttivisti, e “una serie di altre visioni relativamente impopolari.”
“La maggior parte dei filosofi contemporanei della matematica, me compreso, sono strutturalisti,” aggiunge – anche se “la domanda è che tipo di strutturalismo scegliere.”
Riusciremo mai a conoscere la risposta con certezza? È possibile. Per tutto il pensiero filosofico, c’è anche molto lavoro pratico ed sperimentale in corso – e con l’avanzare della tecnologia, potremmo iniziare a vedere i tipi di scoperte che non ti aspetteresti da una materia a volte descritto scherzosamente come “matematica senza il cestino.”
La neuroscienza potrebbe ancora fornire insight sulla cognizione matematica, suggerisce Morrison, separando ciò che nella matematica è solo una caratteristica del pensiero umano e ciò che è in qualche modo esterno a noi; l’uso sempre maggiore dei computer per inventare e dimostrare teoremi, ipotizza Paseau, è altrettanto probabile che cambi il nostro modo di pensare alla matematica.
Ma alla fine, questa potrebbe essere una di quelle domande a cui dovremo semplicemente convivere senza conoscere la risposta – non importa quanto a lungo e duramente ci pensiamo.
“Il mio istinto è che la matematica sia inventata,” dice Paseau. “È quello in cui credevo prima di iniziare a studiare filosofia.”
“Non è quello che penso ora,” aggiunge. “Col tempo, sono giunto alla conclusione che è scoperta. È lì che sembrano portare gli argomenti.”
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